Реферат по математике: Решение старинных задач различными способами




Скачать 200.14 Kb.
НазваниеРеферат по математике: Решение старинных задач различными способами
Дата конвертации19.08.2012
Размер200.14 Kb.
ТипРеферат


Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 7 г. Соль – Илецка

Оренбургской области»


Муниципальное образовательное учреждение

дополнительного образования детей

«Центр детского творчества Соль – Илецкого района

Оренбургской области»


Реферат по математике:

Решение старинных задач различными способами.


(получил диплом III степени в областном конкурсе научно – исследовательских работ, рефератов и проектов в области физико-математических наук, проводимом областным Центром детского научно – технического творчества)

Работа ученика 9б класса,

члена ДТО «Юный математик»

при Центре детского творчества

Соль – Илецкого района

Сименько Дениса Сергеевича.


Проверила:

учитель математики школы № 7,

руководитель ДТО «Юный математик»

Кузнецова Надежда Васильевна.


г. Соль – Илецк

2007г.

Содержание работы:



  1. Введение _______________________________________________________стр. 2

  2. Решение старинных задач различными способами:

а) задача о стае гусей _____________________________________________ стр. 5

б) жизнь Диофанта _______________________________________________ стр. 6

в) школа Пифагора _______________________________________________ стр. 7

г) древнегреческая задача о статуе Минервы _________________________ стр. 8

д) древнеиндийская задача ________________________________________ стр. 9

е) задача о фазанах и кроликах _____________________________________ стр. 10

ж) задача о дележе имущества _____________________________________ стр. 12

3. Заключение _____________________________________________________стр. 14

4. Список используемой литературы __________________________________ стр. 15

  1. Введение


Знание – самое превосходное

из владений. Все стремятся к нему,

само же оно не приходит.

Ал – Бируни.


«Однажды некий шах объявил, что щедро наградит того, кто лучше всех решит такую задачу: «В трёх чашах хранил я жемчуг. Подарил я старшему сыну половину жемчужин из первой чаши, среднему – одну треть из второй, а младшему - только четверть жемчужин из последней. Затем я подарил старшей дочери четыре лучшие жемчужины из первой чаши, средней – шесть из второй, а младшей – только две жемчужины из третьей чащи. И осталось у меня в первой чаше 38, во второй – 12, а в третьей – 19 жемчужин. Сколько жемчужин хранил я в каждый чаше?»

И вот во дворец пришли из разных стран три мудреца. Первый мудрец поклонился и сказал:

- Если в первой чаше, о великий шах, оставалось 38 жемчужин, а подарил ты старшей дочери 4 жемчужины, то эти 42 жемчужины и составляют половину того, что было в чаше. Ведь вторую половину ты подарил старшему сыну? Значит, в первой чаще хранилось 84 жемчужины.

Во второй чаше оставалось 12 жемчужин, да 6 ты подарил другой дочери. Эти 18 жемчужин составляют две трети того, что хранилось во второй чаше. Ведь одну треть ты подарил сыну? Значит, во второй чаше было 27 жемчужин. Ну, а в третьей чаше осталось 19 жемчужин, да 2 ты подарил младшей дочери. Выходит, что 21 жемчужина – это три четверти содержимого третьей чаши: ведь одну четверть ты отдал младшему сыну? Значит, в этой чаше 28 жемчужин.

Решить твою задачу помогла мне арифметика – наука о свойствах чисел и о правилах вычисления.

Это очень древняя наука: люди считают уже много тысяч лет. Название этой науки произошло от греческого слова «арифмос», что означает «число». Учёные Древней Греции больше всех помогли нам разобраться в арифметических правилах.

- Твоё решение мне нравиться, - одобрил шах. – Рассказывай ты, - обратился он к другому мудрецу.

- О, великий шах! Я не знаю, сколько жемчужин было в первой чаше. Поэтому я обозначил их число буквой «икс» - х. Выходит, что старшему сыну ты подарил половину – х.

Если я из икса вычту его половину да ещё 4 жемчужины, что ты подарил дочери, то остаток нужно приравнять 38. Вот какое уравнение я для этого составил:



Если от икса отнять его половину, половина икса и останется, а 4 надо прибавить к 38. Оказывается, . Значит, сам икс в два раза больше: х = 84. Выходит, что в первой чаше было 84 жемчужины.

А для второй чаши надо из икса вычесть только одну треть его – ту, что ты подарил сыну, да ещё вычесть 6 жемчужин. А приравнял я эту разность к 12. Вот какое уравнение у меня получилось:



Решить его нетрудно, две трети икса равны 18:



Значит, во второй чаше было 27 жемчужин: х = 27.

Рассуждая так же, составляю уравнение для третьей чаши:



Отсюда следует, что в третьей чаше хранилось 28 жемчужин: х = 28.

Такие задачи умеют решать даже ученики младших классов! Ведь они уже знакомы с иксом и, значит, начали знакомство с алгеброй, которая помогла решить такую задачу.

- Твоё решение мне тоже нравится, - сказал шах. – А что скажешь ты? – обратился он к третьему мудрецу. Тот поклонился и молча протянул клочок бумаги, на котором было написано:

х – ах – b = с

а вот ответ:




- Я здесь ничего не понимаю! – рассердился шах. – И почему у тебя только один ответ? Ведь у меня три чаши!

- Все три ответа уместились в одном. Ведь задачи совершенно одинаковые, лишь числа разные. А я не только упростил, но и объединил три решения в одно. Я тоже обозначил через неизвестное число жемчужин в каждой чаше. Через а я обозначил ту часть жемчужин, которую ты подарил каждому сыну,

а через b – число жемчужин, отданных любой из дочерей. Наконец, через с я обозначил число жемчужин, оставшихся в каждой чаше. Подставь вместо этих букв те числа, которые ты задал в своей задаче, и получишь правильные ответы. Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей и 100 дочерей, одного моего уравнения хватит, чтобы получить все сто ответов.

Помогла решить эту задачу опять- таки алгебра. Она появилась более 1000 лет назад в Хорезме, и создал её великий узбекский учёный Мухаммед аль- Хорезми. Алгебра почти та же арифметика. Только использует она наравне с числами и буквы. Под буквой можно разуметь любое число. Алгебра даёт самое короткое, самое общее решение для многих похожих друг на друга задач».


Народная мудрость гласит, что, не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цель будущего. Это, конечно, относится и к математике. История развития математического знания богата драмами идей, яркими личностями.

Целью данного реферата является рассмотрение старинных задач различных народов и эпох и решение их всевозможными способами.
2. Решение старинных задач различными способами.


Недостаточно лишь понять

задачу, необходимо желание

решить ее. Без сильного желания

решить трудную задачу невозможно,

Но при наличии такового – возможно.

Где есть желание, найдется путь!

Пойя Д.


Задача № 1


Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь. «Здравствуйте, 100 гусей»,- говорит он, а вожак стаи отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да ещё пол столько, да ещё четверть столько, да ещё ты, гусь, то нас было бы ровно 100гусей».

Сколько гусей было в стае?


РЕШЕНИЕ.


1.Алгебраический способ.


Пусть в стае было х гусей. Тогда получим уравнение

, корень которого х= 36


2. Арифметический способ


100 гусей можно выразить как стаи да ещё один гусь

Тогда стаи - это 99 гусей, откуда находим, что в стае 99: = 36 гусей.


  1. Наглядно-геометрический способ.


Изобразим стаю гусей в виде прямоугольника. Его размеры можно выбирать произвольно, но так как нам надо будет изображать половину и четверть стаи, то удобно взять его длину, равную 4 клеткам или 4см.














-стая















-стая









- половина стаи






- четверть стаи
По условию задачи стаю, да ещё одну стаю, да ещё пол стаи четверть стаи можно изобразить так:





































Большой прямоугольник изображает 99 гусей, а в нём 11 четвертей стаи. Значит, одна четверть стаи – 9 гусей. В большом прямоугольнике 4 четверти, поэтому в стае гусей.


4. Способ подбора(«или гадательно- подбирательный»).


Попробуем подобрать ответ. В задачах такого рода, как правило, используются только целые числа. Следовательно, область поиска резко ограничивается. Так как в условии встречается упоминание о половине и четверти стаи, то будем предполагать, что число гусей в стае делится на 4, а значит, и на 2. Число гусей не может быть более 40, в этом убеждаемсяс помощью простых вычислений:

40 + 40 + 20 + 10 + 1 > 100

Это число не может быть слишком маленьким, оно больше, например, 24

24 + 24 + 12 + 6 + 1 < 100

Осталось проверить три варианта: 28, 32 и 36, из которых верен только один:

36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100

Ответ: в стае 36 гусей.


Задача № 2

Жизнь Диофанта. По преданию, на могильном камне имелась такая надпись:

«Путник! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в глубокой старости. Шестую часть своей долгой жизни он был ребёнком, двенадцатую- юношей, седьмую- провёл неженатым. Через 5 лет после женитьбы у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца. Через четыре года после смерти сына уснул вечным сном и сам Диофант, оплакиваемый своими близкими. Скажи, если умеешь считать, сколько прожил Диофант?»


РЕШЕНИЕ.


  1. Алгебраический способ.


Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получим уравнение

,


корень которого х = 84


2. Наглядно- геометрический способ.

Так как в задаче речь идёт о частях жизни, то число лет, прожитых Диофантом, надо делить на 6, 12, 7 и 2.

Изобразим всю жизнь Диофанта в виде прямоугольника размером 7 12 клеток .


































































































































































































































































Тогда части жизни изобразить легко; – это полоска размером , т.е.

12 клеток, значит, жизни можно изобразить, например, прямоугольником клетки.

Оставшаяся заштрихованная часть из 9 клеток соответствует 9 годам жизни Диофанта

(4 + 5 = 9).

Итак, одна клетка соответствует одному году жизни, всего же получится 712 = 84 клетки.


3.Способ подбора.


Число лет Диофанта делиться на 6, 12, 7 и 2; НОК(6;12;7;2) = НОК(12; 7) = 84.

Заметим, что большие значения нереальны. Здесь преимущества этого способа очевидны.


Ответ: Диофант прожил 84года.


Задача № 3.

Школа Пифагора. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат,- отвечал Пифагор.

-Половина моих учеников изучают прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников у Пифагора?


РЕШЕНИЕ:



  1. Алгебраический способ.


Пусть у Пифагора было х учеников. Составим уравнение:




Его корень равен 28.


  1. Способ подбора


НОК(2; 4; 7) = НОК(4; 7) = 28. Проверим число 28:

(подходит).


3. Арифметический способ.

, т.е. от общего числа учеников Пифагора составляют трое юношей, таким образом, - это один человек, значит, – это 28 человек.

Ответ: У Пифагора было 28 учеников.


Задача № 4.


Древнегреческая задача о статуе Минервы.

(Минерв а- в греческой мифологии богиня мудрости, покровительница наук, искусств и ремёсел).

Я - изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принёс половину всей жертвы,

Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая- жертва певца Фемисона, а девять

Все завершивших талантов - обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?


РЕШЕНИЕ.


1. Алгебраический способ.

Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Уравнение выглядит так:





  1. Наглядно- геометрический способ.


Изобразим всё злато, которое было принесено в дар, в виде круга. Тогда принесённые дары можно изобразить в виде секторов: – половина круга; – это половина четверти


круга, т.е. сектор с углом 45 градусов; - сектор с углом 36 градусов (360о : 10 = 36);

- сектор с углом 18 градусов (360о : 20 = 18)





Итак, Аристоник дал 9 талантов, что соответствует сектору с углом 81о:


360о – (180о + 45о + 36о +18о) = 81о.

Тогда 1 талант – это сектор с углом 90, значит, полный круг(3600) соответствует 40 талантам (3600 : 9 = 40).

  1. Способ подбора.


НОК (2; 8; 10; 20) = НОК(8 ;20) = 40. Допустим, что злато для статуи составляет 40 талантов, проверим условия задачи:

(подходит).

Ответ:40 талантов злата принесено в дар.


Задача № 5.

Древнеиндийская задача.


Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся а цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?


РЕШЕНИЕ:

1. Алгебраический способ.


Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение


.


2. Способ подбора


НОК(3,5)=15. Проверим число 15:


(подходит).


Ответ. Было 15 пчел.


Задача №6.


В клетке находятся кролики и фазаны. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?


Способ 1. Метод подбора: 4 кролика, 2 фазана.


Проверка: 2+4=6 (голов); (ног)


Способ 2. Полный перебор вариантов.


- Если бы был 1 кролик, а фазанов – 5, то ног у них было бы 14 и т. д.


Решение лучше оформить в виде таблицы:



Количество

Всего

кроликов

фазанов

голов

ног

1

5

6

14

2

4

6

16

3

3

6

18

4

2

6

20

5

1

6

22



Ответ: 4 кролика и 2 фазана.


Способ 3. Арифметический способ.

Метод предположения.


Рассмотрим два варианта этого метода:


а) Метод предположения по избытку.


Предположим, что в клетке только кролики. Тогда у них (ноги), т. е. 4 ноги «лишние». Эти ноги принадлежат фазанам. Так как у фазана 2 ноги, то 4: 2 = 2 (фазана). Определим теперь количество кроликов:


6 – 2 = 4 (кролика).


б) Метод предположения по недостатку.


Предположим, что в клетке были только фазаны. Тогда у них (ног), т. е. недостает 8 ног, которые принадлежат кроликам (по 2 ноги у каждого). Отсюда:


8:2=4 (кролика),


6 – 4=2 (фазана).


Способ 4. Алгебраический способ.


а) составление уравнения


Пусть было х кроликов, тогда (6 – х) фазанов.

Вычислим общее количество ног и составим уравнение


4х+2(6 – х) = 20


4х+12 – 6х = 20


2х = 8


х=4 (кролика)

6 – 4 = 2 (фазана)


б) составление системы уравнений


х - кроликов

у – фазанов





Ответ: 4 – кролика, 2 – фазана.


Задача № 7.


Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех своих сыновей и сказал им: «Когда я умру, разделите между собой мое стадо верблюдов. Пусть старший из вас возьмет половину всего стада, средний – третью часть , а младший – девятую». Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде оказалось 17 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда. Когда этот верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду. Затем мулла приказал старшему взять половину стада, т. е. 9 верблюдов, среднему – третью часть, т. е. 6 верблюдов, а младшему – девятую часть, т.е. 2 верблюда. «Сколько верблюдов вы разобрали?» - спросил мулла. Братья сосчитали и ответили: «17». (9+6+2=17). « Ну а оставшегося верблюда верните соседу», - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали правильно, и не заблуждался ли кто – нибудь из них?


РЕШЕНИЕ:


Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании сыновьям ½, 1/3 и 1/9 всего стада, он упустил из виду, что эти доли всего стада не составляют в сумме единицу, т. е. всего стада:


.


Не хватает . Это и понял мулла и приказал добавить к стаду одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.


Эту же задачу можно сформулировать на математическом языке, т.е. создать математическую модель рассматриваемой исторической ситуации.


Пусть завещанные доли наследства а животных всего s-1. При добавлении еще одного животного получится s животных, их число нацело делится на числа p, q, r, а частные, появляющиеся в результате деления, в сумме дадут s-1. Математически это можно записать в виде уравнения




где s, q, r – натуральные числа. Это и есть математическая модель рассматриваемой ситуации.

Остается решить полученное уравнение, т.е. найти все четверки натуральных чисел (p, q, r, s), которые удовлетворяют уравнению и условию -


Решение:







Последнее уравнение удобно решать методом «оценки».

При р=1 равенство неверно,

При р=2 равенство верно, если


q=3, r=7, s=42; q=4, r=5, s=20;

q=3, r=8, s=24; q=4, r=6, s=12;

q=3, r=9, s=18; q=4, r=8, s=8;

q=3, r=10, s=15; q=5, r=5, s=10;

q=3, r=12, s=12; q=6, r=6, s=6.


При р=3 равенство верно, если

q=3, r=4, s=12;

q=3, r=6, s=6;

q=4, r=4, s=6.


При р=4 равенство верно, если


q=4, r=4, s=4.


Имеем решения уравнения:


(2, 3, 7, 42); (2, 3 ,8, 24); (2, 3, 9, 18);

(2, 3, 10, 15); (2 ,3, 12, 12); (2, 4, 5, 20);

(2, 4, 6, 12); (2, 4, 8, 8); (2, 5, 5. 10);

(2, 6, 6, 6); (3, 3, 4, 12); (3, 3, 6, 6);

(3, 4, 4, 6); (4, 4, 4, 4).


Замечание. Среди полученных 14 четверок (p, q, r, s) нужно отобрать только те, в которых s кратно числам p, q, r. Этим свойством обладают только 12 четверок.


Ответ:

(2, 3, 7, 42); (2, 3 ,8, 24); (2, 3, 9, 18);

(2 ,3, 12, 12); (2, 4, 5, 20); (2, 4, 6, 12);

(2, 4, 8, 8); (2, 5, 5. 10); (2, 6, 6, 6);

(3, 3, 4, 12); (3, 3, 6, 6); (4, 4, 4, 4).


Одно из решений уравнения - четверка чисел (2, 3, 9, 18) - использована в истории о разделе имущества, т. е. доли наследства взяты как , а количество верблюдов равно s – 1=17. Количество верблюдов можно было взять равным

24 – 1= 23, а доли братьев , т.е. использовать другую четверку чисел, а именно

(2, 3, 8, 24). Значит, в данной истории числа могут быть и другие. (Всего 12 вариантов).



  1. Заключение.


Я глубоко почитаю математику,

потому что знакомые с нею

видят в ней средство к пониманию

всего существующего.


Бхаскара.


Математика в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Решение задач различными способами способствует углублению знаний, логического мышления, расширяет кругозор.

«Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели». (А. Маркушевич)

Ознакомление с историческими фактами позволяет лучше понять роль математики в современном обществе, углубляют понимание изучаемого раздела пограммы.
4. Список используемой литературы.



  1. Чистяков В. Д. Старинные задачи по элементарной математике. Мн., «Вышэйш. школа», 1978.

  2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М., Просвещение, 1982.

  3. Альхова З.Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2001.

  4. Что такое? Кто такой? Энциклопедия для школьников. М., Педагогика, 1975.

  5. Е. Смирнова . Алгебраические дроби. – Газета «Математика» №48, 1998.



Добавить документ в свой блог или на сайт
Разместите кнопку на своём сайте:
Рефераты


База данных защищена авторским правом ©referat.znate.ru 2012
обратиться к администрации
Школьные рефераты
Главная страница